Математика:б гипотеза о том, что делать после 6 октября 2026

6 октября 2026 года OpenAI,  создававшая ChatGPT, опубликовала 722 математических результатов, полученных их внутренней моделью ИИ. Вместе с рукописями на GitHub выложили формализации многих доказательств на языке Lean — системе, позволяющей проверять математические доказательства средствами компьютера. OpenAI также заявила, что в будущем будет улучшать математическое изложение, цитирование и представление результатов, чтобы сделать их более понятными для Почитателей [1].

Реакция людей была резкой. Ассоциация «Человеческая математика» (Association for Human Mathematics, AHM) на следующий день опубликовала заявление, в котором отвергла утверждение, что такая публикация продвигает математику, и призвала относиться к ней со скепсисом. Заявление вышло как гостевой пост на блоге Теренса Тао и отражает позицию AHM, а не самого Тао [4].

22 октября 2026 года Теренс Тао опубликовал в Nature колонку (рубрика World View), в которой описал другую сторону проблемы. Результаты производятся быстрее, чем математики успевают их осмыслить («proof indigestion»). Многие машинные тексты изложены недостаточно ясно для людей. Остаётся неясным, в какой мере модели опираются на прежние работы математиков без надлежащего указания источников. Для ответа Тао предлагает «Математику 2.0», в которой «дефицит доказательств» перестаёт быть определяющей чертой дисциплины [2].

Это событие - новый этап в отношениях между искусственным интеллектом и математикой. Речь идёт уже не о способности машины решать отдельные задачи. Возникает проблема масштаба: результаты производятся быстрее, чем ученые успевает их проверять, понять структуру и значение.

Проблема не сводится только к качеству текстов или скорости проверяющих. Она затрагивает более фундаментальный вопрос: что считается знанием, когда есть вроде как убедительный результат, но неизвестно ни его происхождение, ни условия применимости, ни связь с другими результатами?

Для обозначения такого результата в статье введен термин «токсичное доказательство». Доказательство считается «токсичным», так как его нельзя ни проверить, ни использовать осознанно: непонятно, почему оно верно, что именно оно доказывает и где вообще его границы. В рамках данной статьи вместо термина «токсичное доказательство», будет использоваться термин «неопределенное доказательство», так как термин  «токсичный» сразу, изначально несет в себе эмоционально негативный оттенок

Для анализа предлагается концепция проекций с потерей информации. Её центральная идея состоит в том, что между математическими структурами, эмпирическими моделями, человеческими описаниями и машинными представлениями существуют границы, при пересечении которых информация неизбежно искажается: часть отбрасывается, часть становится недоступной, часть перестаёт учитываться так, как раньше, часть приобретает новое значение. Идея соседствует с известными понятиями — недоопределённостью теории данными, наблюдательной эквивалентностью моделей, информационным «бутылочным горлышком» и неравенством обработки данных..

Задача статьи — сформулировать основания этой идеи, определить границы применимости и предложить исследовательскую программу, позволяющую проверить, даёт ли такой подход новые инструменты анализа. Предлагаемый подход рассматривает  вопроса о том, что теряется при переходе между сферами представления.

1. Проекция с потерей

Математика допускает построение множества структур, значительно превосходящего набор моделей, необходимых для описания любого конкретного физического эксперимента. Но из этого не следует, что существует единственное отображение всей математики на физику или что всякая математическая структура имеет физический аналог.

Чтобы избежать неоднозначности, рассматривается более узкая постановка.

Пусть D — совокупность доступных экспериментальных данных, а M(D) — множество математических моделей, согласующихся с этими данными в пределах заданных критериев. Если несколько моделей дают одинаковые предсказания для всех наблюдений, включённых в D, то имеющихся данных недостаточно, чтобы однозначно выбрать между ними. Это частный случай недоопределённости модели данными.

Отображение, связывающее модель с её предсказаниями для выбранного класса наблюдений, обозначается так:

F_D : M → Y_D

где Y_D — пространство возможных результатов этих наблюдений. Если существуют различные модели M₁ и M₂, для которых

M₁ ≠ M₂, но F_D(M₁) = F_D(M₂),

то отображение не является инъективным. Различия между моделями не обнаруживаются средствами выбранного набора наблюдений.

Простой пример. Пусть измерения дали три точки: (0; 1), (1; 3), (2; 5). Им одинаково соответствуют модель y = 2x + 1 и бесконечное семейство моделей

y = 2x + 1 + c·x(x − 1)(x − 2)

при любом c, потому что добавка обращается в нуль во всех измеренных точках. Данные не позволяют выбрать между ними. Различие становится видимым только при новых измерениях в других точках.

Именно здесь появляется содержательная идея проекции с потерей: наблюдатель получает не всю структуру модели, а только информацию, доступную через определённый класс измерений.

Важно, однако, не делать лишнего вывода. Неинъективность конкретного отображения не означает, что математика в целом является отображением на физику с единственной заранее заданной формой. Также из неинъективности не следует сюръективность. Эти свойства необходимо устанавливать отдельно для каждого формально определённого отображения.

Далее термин «проекция с потерей» используется как рабочее обозначение класса преобразований, при которых разные исходные состояния, модели или представления становятся неразличимыми на последующем уровне.

1.1. Что теряется?

Потеря информации может иметь несколько различных форм.

Эмпирическая потеря. Конечный набор измерений не позволяет различить все математически допустимые модели.

Представленческая потеря. Человеческое описание сохраняет одни свойства объекта, но опускает другие, поскольку язык и формат изложения ограничены.

Вычислительная потеря. Алгоритм использует приближения, конечную точность, ограниченные ресурсы или сокращённое представление исходных данных.

Семантическая потеря. Символьная запись сохраняет формальную структуру выражения, но сама по себе не гарантирует, что смысл обозначений, предпосылок и следствий понят правильно.

Эти виды потерь не тождественны. Округление числового значения, недостаточность экспериментальных данных и непонимание доказательства требуют разных методов анализа. Исследовательская задача заключается в том, чтобы установить, можно ли описать их в рамках единого аппарата, не смешивая их математические механизмы.

1.2. Почему это важно

Математическая модель может быть внутренне непротиворечивой и одновременно плохо описывать конкретную физическую систему. Физическая теория может успешно предсказывать наблюдения, но оставаться недостаточной для объяснения других явлений. А корректное доказательство может быть настолько сложным, что его основные идеи долго остаются недоступными научному сообществу.

Следовательно, необходимо различать как минимум три вопроса:

1. Корректно ли доказано математическое утверждение?
2. Соответствуют ли исходные предпосылки задаче, которую требуется решить?
3. Понятно ли, почему результат верен и какие новые выводы из него следуют?

Первый вопрос относится к математической верификации. Второй — к обоснованности постановки и применимости модели. Третий — к пониманию. Между ними есть связь, но ни один из них не заменяет остальные. Токсичное доказательство — это то, на что отвечено «да» на первый вопрос и не отвечено на третий.

2. Рекурсия описания и тройная проекция

Искусственный интеллект добавляет к уже существующим переходам ещё один уровень представления. Для анализа вводится следующая схема:

M_all → (эмпирический отбор) → M_phys → (человеческое описание) → T_human → (машинное обучение) → P_model

Здесь:

• M_all — пространство рассматриваемых математических структур;
• M_phys — модели, отобранные для описания определённого класса физических явлений;
• T_human — человеческие тексты, содержащие математические определения, доказательства и объяснения;
• P_model — статистическое представление закономерностей этих текстов, сформированное обученной моделью.

Эта схема концептуальна. Она не утверждает, что реальные процессы физического моделирования, написания математических текстов и обучения нейросетей всегда образуют линейную последовательность. В действительности они взаимодействуют, а модель может обучаться и на чисто математических результатах, не связанных с физическими измерениями.

Тем не менее схема позволяет сформулировать важную гипотезу: машинное представление математического текста не тождественно математическому объекту, о котором этот текст сообщает.

Языковая модель обучается на представлениях математических объектов: формулах, текстах, доказательствах, примерах, описаниях и связях между символами. Эти материалы позволяют модели решать математические задачи, но не гарантируют, что каждый сгенерированный результат корректен.

При этом было бы ошибкой считать, что статистическое обучение принципиально исключает математическое рассуждение. Способность модели строить корректные цепочки вывода может возникать именно благодаря усвоенным закономерностям. Вопрос не в том, может ли статистически обученная система рассуждать, а в том, какие гарантии корректности и понимания можно получить для конкретного результата.

Проблема появляется, когда убедительность представления принимается за свидетельство его истинности. Если на каждом уровне преобразования существуют ограничения, которые не обозначены явно, последующий пользователь может не знать, какая информация была сохранена, какая отброшена и какие предпосылки необходимо проверить дополнительно.

Это не доказывает неизбежность ошибки. Но это задаёт конкретную исследовательскую программу: описать преобразования, определить типы потерь и выяснить, какие из них влияют на корректность, проверяемость и объяснительную ценность результата.

3. Три примера осязаемого разрыва

3.1. Случайность

Математическая случайность, физический источник случайности и статистически выглядящая случайная последовательность — разные понятия.

Псевдослучайный генератор создаёт последовательности с нужными статистическими свойствами, хотя они полностью определяются алгоритмом и начальным состоянием. Физический источник случайности, в свою очередь, может использоваться для получения случайных данных. Языковая модель способна генерировать последовательности, похожие на случайные, но само по себе такое сходство не устанавливает ни их математическую случайность, ни физический источник энтропии.

Поэтому утверждение, что модель «не имеет доступа к случайности», было бы слишком сильным. Корректнее спросить, какие механизмы случайности используются в конкретной системе и какие свойства её выходных последовательностей можно подтвердить.

В терминах проекций с потерей задача состоит в исследовании того, какая информация о механизме генерации сохраняется в наблюдаемом результате и какую невозможно восстановить по одному этому результату.

3.2. Бесконечность

Математическое понятие бесконечности не сводится к очень большому конечному числу. Например, ℵ₀ обозначает мощность счётного бесконечного множества. Это не числовая характеристика, которую можно подставлять в арифметические операции с обычными конечными числами без уточнения математического контекста.

Аналогичная осторожность требуется при работе с бесконечными рядами. Ряд может расходиться в обычном смысле, но при использовании специально определённого метода суммирования ему иногда сопоставляют конечное значение. Такое значение не следует путать с обычной суммой сходящегося ряда.

Языковые модели способны решать задачи о бесконечности, однако могут смешивать различные понятия или применять неподходящие правила. Это проверяемая характеристика их поведения, а не основание утверждать, что все модели неспособны отличать бесконечность от большого числа.

Предлагаемый подход позволяет поставить более точный вопрос: какие математические различия сохраняются при переходе от формального определения к текстовому представлению, а затем к машинному выводу?

3.3. Время

В архитектуре трансформера положение элемента в последовательности может кодироваться специальными позиционными представлениями. Но из этого не следует, что модель не способна работать с временными отношениями или причинностью.

Нужно различать три вещи:

• порядок элементов в последовательности;
• временной порядок событий в описываемой системе;
• причинную зависимость между событиями.

Они могут совпадать, но не обязаны. То, что одно предложение стоит раньше другого, ещё не доказывает, что описанное в нём событие стало причиной последующего.

Модель может усваивать закономерности временного и причинного рассуждения, но устойчивость таких навыков требует отдельной проверки. Концепция проекций с потерей предлагает исследовать, какая информация о времени и причинных связях сохраняется при преобразовании событий в последовательность символов и при последующем машинном анализе.

4. Два способа заполнения разрыва

Человек и языковая модель по-разному взаимодействуют с неопределённостью.

Человек может использовать интуицию, аналогии, воображение, опыт и объяснительные модели. При этом человеческое понимание также подвержено ошибкам: интуитивно убедительное объяснение может оказаться неверным, а уверенность — не соответствовать действительной компетентности.

Языковая модель строит ответы на основе обученных закономерностей и вычислительных процедур, включая механизмы генерации, которые могут использовать распределения вероятностей. Но из вероятностной природы генерации не следует, что система не может оценивать неопределённость, отказываться от ответа или использовать внешние проверяющие инструменты.

Необходимо различать способность сообщить о незнании и способность достоверно определить, когда ответ ошибочен. Первая может быть реализована технически; вторая требует проверки калибровки, надёжности и устойчивости на конкретных задачах.

4.1. Статус «не определено»

В математике существуют строгие способы обозначать отсутствие определённого значения, недопустимость операции или невозможность получить результат в заданной системе. Однако символы вроде ∅, NaN и логических значений не взаимозаменяемы: они обозначают разные типы объектов или состояний.

Поэтому универсальная формализация незнания не должна сводиться к введению одного нового символа. Она должна определять, почему результат недоступен, какие проверки были выполнены и какие условия необходимы для дальнейшего вывода.

Можно выделить несколько разных ситуаций:

1. Утверждение доказано.
2. Утверждение опровергнуто.
3. Доказательства недостаточно.
4. Постановка задачи неоднозначна.
5. Вычислительная процедура не завершилась.
6. Результат не удалось проверить в доступной формальной системе.

Эти состояния имеют разный смысл. В частности, отсутствие найденного доказательства не означает ложности утверждения, а отсутствие опровержения не означает его истинности. Исследовательская задача заключается в разработке способов, позволяющих системам явно различать эти состояния и не выдавать неподтверждённый вывод за проверенное знание.

5. Верификация: что подтверждает компьютер?

Одна из главных ошибок в обсуждении искусственного интеллекта — смешение генерации доказательства с его проверкой.

Система Lean предназначена для формализации математики и проверки доказательств. Её ядро проверяет формальные объекты доказательства в рамках заданной системы типов и формальных предпосылок [3]. Это существенная гарантия: если доказательство корректно проверено, основание доверять его формальной корректности значительно сильнее, чем при одной лишь оценке убедительности текста на естественном языке.

Но и здесь необходимо уточнение. Формальная проверка подтверждает вывод относительно формализованных определений, предпосылок и правил. Она сама по себе не гарантирует, что формализация точно соответствует первоначальной задаче, что все необходимые предпосылки разумны или что текст на естественном языке, сопровождающий доказательство, не содержит ошибок. Именно поэтому OpenAI публикует и рукописи, и Lean-формализации, и именно поэтому вопрос о соответствии одного другому остаётся открытым для каждого отдельного результата.

Поэтому нужно разделять как минимум четыре уровня:

Уровень 1. Синтаксическая корректность. Запись соответствует требованиям используемого языка.

Уровень 2. Формальная выводимость. Утверждение доказуемо из заданных предпосылок по правилам формальной системы.

Уровень 3. Соответствие исходной задаче. Формализованное утверждение действительно выражает то, что исследователь хотел доказать.

Уровень 4. Математическое понимание. Исследователь понимает структуру доказательства, его ключевые идеи, ограничения и возможные следствия.

Эти уровни связаны, но не тождественны. Токсичное доказательство — это результат, надёжно проверенный на уровнях 1–2 и не освоенный на уровнях 3–4.

Публикация OpenAI от 6 октября 2026 года важна тем, что в ней присутствуют результаты с разной степенью формализации, а сама компания говорит о необходимости улучшать изложение и способы представления результатов [1]. Формальные проверки не бесполезны, напротив, они являются одним из главных инструментов решения проблемы. Вопрос в том, как встроить их в более широкую систему контроля качества математического знания.

6. Семь задач математики

Ниже перечислены семь направлений, в которых можно проверить продуктивность концепции проекций с потерей.

Задача 1. Проекций с потерей

Необходимо определить формальный язык для описания преобразований, при которых различные исходные объекты становятся неразличимыми на последующем уровне представления. Для каждого преобразования следует определить:

• исходное и целевое пространства;
• критерий различимости;
• вид сохраняемой информации;
• вид утрачиваемой информации;
• условия, при которых потеря обратима или необратима.

Затем нужно выяснить, можно ли определить подходящие меры потери для конкретных классов моделей. Универсальная «метрика разрыва» не может считаться готовой до определения пространства объектов и способа сравнения.

Задача 2. Конечная различимость

Конечная точность измерения, ограниченность данных и конечное представление чисел влияют на то, какие различия можно обнаружить на практике. Но математические структуры не обязаны становиться конечными из-за ограничений наблюдения. Поэтому задача состоит не в замене существующей математики новой «математикой конечной точности», а в разработке формальных средств, связывающих идеальные объекты с ограниченными процедурами измерения и вычисления.

Особое внимание следует уделить тому, как эти ограничения влияют на выбор модели, оценку ошибки и допустимость вывода.

Задача 3. Причинность, время и последовательность

Необходимо разработать методы, позволяющие формально различать порядок символов, порядок событий и причинные зависимости. Это направление должно опираться на существующие теории временных моделей, причинного вывода и формальных систем, а не исходить из предположения, что причинность принципиально недоступна вычислительным моделям.

Проверяемый результат здесь — критерии, показывающие, когда модель правильно различает временную последовательность и причинную связь, а когда подменяет одну другой.

Задача 4. Регуляризация

Регуляризация в статистике и машинном обучении позволяет ограничивать множество решений, предпочитать определённые классы моделей или снижать риск переобучения. Её можно рассматривать как один из механизмов выбора между представлениями, согласующимися с данными. Но регуляризация, обучение с обратной связью и эмпирический отбор физических моделей — разные процедуры.

Исследовательская задача состоит в том, чтобы определить, как различные механизмы отбора влияют на сохраняемую информацию и какие свойства исходных моделей перестают быть доступными после такого отбора.

Задача 5. Формализация незнания

Необходимо разработать систему состояний, которая различает доказанную корректность, опровержение, недостаток данных, неоднозначность постановки и невозможность завершить проверку, и связать её с существующими методами формальной верификации, оценивания неопределённости и калибровки вероятностных прогнозов.

Главный критерий успеха — не способность системы произносить фразу «не знаю», а способность надёжно различать ситуации, в которых её вывод подтверждён, не подтверждён или опровергнут.

Задача 6. Ошибки в многослойных системах

Пусть последовательность преобразований описывается композицией

F = F_n ∘ F_n−1 ∘ … ∘ F₁

Если каждый этап вносит ошибку, необходимо определить, при каких условиях ошибка итогового результата остаётся ограниченной, а при каких накапливается или усиливается. Для этого потребуются конкретная модель ошибки, метрика или иной критерий отклонения и условия на преобразования F_i. В разных системах могут потребоваться разные определения: численная погрешность, вероятность неверного ответа, нарушение логического вывода или потеря существенной информации.

Цель — получить проверяемые условия, позволяющие оценивать надёжность всей цепочки, а не только отдельных её компонентов.

Задача 7. Математики как производство понимания

Математика создаёт ценность не только благодаря количеству доказанных утверждений. Она также развивает понятия, методы, объяснения, связи между теориями и новые направления исследования.

Тао в октябре 2026 года указал, что производство результатов может опережать человеческое понимание их содержания, и предложил пересмотреть систему стимулов в математике [2]. Это не означает, что машинные доказательства бесполезны: они могут освобождать исследователей от рутинной работы и открывать новые возможности.

Однако необходимо развивать критерии качества, которые не сводятся к числу полученных результатов. Среди них — понятность доказательства, возможность независимой проверки, раскрытие использованных предпосылок, корректное цитирование предшествующей работы и способность результата порождать новые математические идеи.

Задача состоит не в защите математики от автоматизации, а в том, чтобы автоматизация не подменяла собой цели математического исследования.

7. Почему именно сейчас

До массовой генерации математических результатов проблема разрыва между корректностью, пониманием и применимостью существовала в более ограниченном масштабе. Новые системы изменили соотношение между скоростью производства результатов и ресурсами, необходимыми для их анализа.

В математике это создаёт проблему научной коммуникации и оценки вклада. Часть сообщества воспринимает публикацию сотен результатов за один раз как вызов самим нормам научной работы. Именно так её оценила AHM [4], хотя другие участники обсуждения придерживаются противоположных взглядов. Как бы ни разрешился этот спор, он показывает, что вопрос о том, чем является результат без понимания, перестал быть только философским.

В прикладных областях возникает дополнительный риск. Тао отмечает, что сложные модели, созданные с помощью ИИ, уже в некоторой мере используются при решении вопросов о выдаче банковских кредитов и оценке финансовых рисков, и если их сложность опередит способность людей понимать, когда они дают сбой, вероятность непредвиденных ошибок вырастет, а последствия затронут общество [2]. Это не означает, что любой сложный алгоритм опасен или что неполное понимание автоматически делает модель ненадёжной. Надёжность зависит от конкретных условий применения, доступных проверок и последствий ошибки.

Но чем выше цена ошибки, тем важнее различать эмпирическую успешность, формальную корректность и понимание ограничений системы. Здесь концепция проекций с потерей может стать полезной, если позволит формально описывать переходы между уровнями представления, находить критические места и оценивать, какие именно ограничения влияют на итоговый результат.

8. Измерить разрыв, а не объявить его непреодолимым

Математика не обязана полностью совпадать с физической реальностью, чтобы быть полезной для её описания. Формальная система не обязана содержать человеческое понимание в том же смысле, в каком оно существует у исследователя, чтобы производить корректные доказательства. А статистически обученная модель не обязана быть безошибочной, чтобы помогать в решении математических задач.

Поэтому вопрос не в том, может ли искусственный интеллект заниматься математикой. Практика уже показывает, что он способен производить результаты, требующие серьёзного анализа, и участвовать в построении формальных доказательств.

Вопрос в другом: какие гарантии можно получить на каждом этапе перехода от постановки задачи к результату, от результата к доказательству и от доказательства к человеческому пониманию?

Концепция проекций с потерей рассматривает эти переходы как самостоятельный предмет исследования. Её ценность определяется не широтой философских формулировок, а тем, удастся ли построить формальные модели, получить проверяемые следствия и показать преимущество перед существующими методами. Если это удастся, будет получен не универсальный ответ на все ошибки искусственного интеллекта, а более точный инструмент анализа границ знания.

Главной задачей математики в эпоху массовой генерации доказательств представляется не простое увеличение числа результатов, а возможность установить, что доказано, на каких основаниях, в каких пределах и с каким новым пониманием.

Источники

[1] OpenAI. Sharing AI progress in mathematics. 6 октября 2026 года. Официальное описание публикации математических результатов, формализаций в Lean и мер по улучшению научного изложения.
https://openai.com/index/sharing-ai-progress-in-mathematics/

[2] Terence Tao. Can maths survive AI? Fields medallist Terence Tao calls for a ‘Maths 2.0’ world. Nature, 22 октября 2026 года (World View). Авторская колонка о скорости машинного производства доказательств, отставании человеческого понимания, ясности изложения и атрибуции.
https://www.nature.com/articles/d41586-026-03389-1

[3] The Lean Language Reference. Официальная документация языка Lean. Описание формальной системы, ядра проверки доказательств и механизмов автоматизации.
https://lean-lang.org/doc/reference/latest

[4] Association for Human Mathematics, Communications Working Group. AHM Statement on OpenAI’s October 6 Release of Mathematical Documents. 7 октября 2026 года. Гостевой пост на блоге Теренса Тао; отражает позицию AHM, а не автора блога.
https://terrytao.wordpress.com/2026/10/07/ahm-statement-on-openais-october-6-release-of-mathematical-documents/