Математическое моделирование социальных систем

А.А. Лаптев - Омский государственный университет

И. Д. Пазюк - Харьковский филиал Института метапсихических исследований

• Введение
• Математическая модель социогенеза
• Описание системы
• Исследование системы. Проверка на наличие бифуркации
• Исследование устойчивости системы
• Компьютерное моделирование
• Анализ графика
• Устойчивость социальной системы
• Заключение
• Примечания
• Список литературы

---

Введение

При изучении социальных процессов одной из самых интересных проблем является проблема предсказания будущего того или иного общества (При написании параграфов 1 и 2 было использовано учебное пособие А.К.Гуца [3]). Неоднократно проваливались самые различные попытки дать более или менее точный прогноз грядущих событий. Методика составления прогнозов опиралась на традиции гуманитарных наук и поэтому базировалась либо на узком наборе явлений и фактов, либо на конкретной теории, не способной обрабатывать данные так, как это делает математика. Важным отличием математического способа обработки данных является то, что результат получается в ходе долгих формальных вычислений, лишенных самостоятельного смысла. Он, как правило, непредсказуем (за исключением тривиальных случаев) и, следовательно, объективен. Субъективность может проявиться на предварительном этапе построения математической модели, но математический анализ модели беспристрастен и объективен. История применения математики в естественных науках показывает, что большинство результатов, полученных математическим путем, никогда бы не стали достоянием человеческого разума, если бы не использовались отстраненные формальные и абстрактные процедуры. Именно этот подход отсутствовал у ученых в прошлом.

Глобальные и локальные процессы, протекающие в обществе, более сложны и многогранны, чем физические или химические процессы. 

Глобальный процесс проявляется на больших отрезках времени.

Локальные процессы сказываются на коротких временных отрезках. 

Фактор отдельного человека более проявляется в локальных процессах. 

Фактор общества проявляется в глобальных процессах и включает в себя факторы системы. Опишем человечество, используя следующую структурную схему:

Психосфера

Социосфера

Этносфера

Цивилизация

Биосфера

Биосфера человечества является подсистемой из представителей вида Homo Sapiens, являющихся часть биологических систем, живущих за счет энергии Солнца и Земли. Человечество существует за счет обмена различными ресурсами с другими биомасса планеты. 

Цивилизация - местные и региональные подобщества человечества, разбитое на отдельные популяции.  В книге В.Крапивина, Ю.Свирижева, А.Тарко [14] содержится математическая модель для популяций, которые отличаются друг от друга по параметрам:

• тип потребляемой пищи, 
• темпами прироста/смертности
• уровень загрязнений среды. 

Этносфера - коллектив индивидов, способных к единым действиям и характеризующихся одинаковыми стереотипными ответными реакциями на внешние воздействия. Стереотипы, порожденные ландшафтными (региональными) условиями местожительства описывает теория этногенеза Л.Н.Гумилева [1, 2]. Это теория описывает поведение подсистем этноса через понятие пассионарность - пассионариев, гармоничных людей, субпассионариев, организации, культуры и искусства, науки и техники, ландшафта. Математическая модель этноса описывается системой дифференциальных уравнений профессора А.К.Гуца [3, 4, 5, 6, 7, 8]. На основе этих уравнений уже проводилось компьютерное моделирование этногенеза [9].

Социосфера рассматривает обществом в конвенциональном смысле этого слова. Мат. модель данного уровня описана американским социологом Т.Парсонса [17, 18, 19](1). 

Психосфера - имеет важное значение при анализе локальных социальных процессов, либо при анализе роли гениев в развитии того или иного социума, этноса, цивилизации.

Цикличность - одна из возможных интерпретаций мирового исторического процесса. По мнению О.Шпенглера [26], Арн.Тоинби [23], Н.Данилевского [10] каждое общество проходит определенные стадии развития, роста, надлома и разложения. Н.Я.Данилевский выделил 10 типов цикличности, А.Тоинби - 21. Н.Д.Кондратьев в 30-х годах XX века пришел к выводу, что большие циклы экономической конъюнктуры сменяют друг друга каждый 48 лет [13]. Каждый такой цикл является элементом "векового" цивилизационного цикла, меняющегося через 200-300 лет. В настоящее врем этот подход развил академик Ю.В.Яковец [27]. Именно теория циклов является инструментом социально-экономического предвидения. Данная точка зрения имеет право на существование наряду с теорией многомировой интерпрета́ция Эверетта

Математическая модель социогенеза

Социальная система -- это способ организации общественной жизни представителей вида Homo Sapiens, который возникает в результате их взаимодействия на основе первичного шаблона социальных действий Обыкновенных шимпанзе. Не путать с социальным шаблоном взаимодействий, присущих шимпанзе Бонобо. В основе данной модели социогенеза лежит схема общества, принадлежащая Т. Парсонсу.

• соционическое сообщество,
• система поддержания этнических шаблонов,
• экономическая система
• политическая система

Им сопоставим соответствующие коэффиценты:

• интеграции=органической солидарности K, 
• интеграции=механической солидарности D, 
• адаптации к окружающей природной среде E
• обеспечения достижения общих целей G. 

Динамику изменения данных уровней опишем дифференциальными уравнениями.  Переход от формального описания подсистем общества к некоторым, казалось бы, абстрактным математическим функциям (и к динамике этих функций) вполне согласуется с теорией Т.Парсонса, т.к. "понятие функция  используется в структурном функционализме Парсонса в его математическом значении: этим понятием обозначаются формы такой зависимости между величинами, при которой изменение одних (аргументов) сопровождается изменением других величин (переменных)"[20, с.51]. Если изучается динамика величины X, в левой части уравнения пишется вначале ее скорость изменения во времени в момент t, а затем знак равенства, т.е.

В правой части по очереди выписываются функции, непосредственно связанные с составляющими системы, причем перед функцией ставится знак "+", если функция содействует развитию X, и со знаком "--", если сдерживает развитие. Учтем также периодичность в историческом процессе (5) .

Описание системы

В ходе построения модели учитывались разные факторы и разные определения управляющего параметра и в результате были получены несколько систем. В качестве управляющего параметра периода, он нужен для исследования цикличности, возьмем уровень Пассионарного напряжения (характеристику этноса), предположив, что социальная система контролируется только этническими факторами.  По определению Л.Н.Гумилева  Пассионарное напряжение -- пассионарность, приходящаяся на одного члена общества (6). "Качественные характеристики пассионарного напряжения следует рассматривать как некую усредненную оценку представителей этноса"[2, с.123].

Построим систему так, что бы  при достижении уровня Пассионарного напряжения () система, теряла старую устойчивость и приобретала новое фазовое состояние (примерно 3-4 поколения жизни людей). Политическую, экономическую систему и систему поддержания  этнических образцов опишем функциями G(t), E(t), K(t) и D(t).  

Уравнение развития политической системы:

где:

-- это степень реакции властей на отклонение от общественного строя; вклад правительства в строительство основ государственности; учет инерционности в развитии.

  -- усилия людей по укреплению политического режима за счет экономики  ("...Экономика возлагает, в некотором роде, на политическую систему ответственность за мобилизацию ресурсов"[20, с.79]).  Степень этих усилий определяется условиями жизни, т.е. уровнем развитости экономики.

 

-- поддержка политической системы обществом ("...Власть требует "Узаконивания"[20, с.73].), легитимация власти (при достаточном уровне Пассионарного напряжения (>)).

   

Динамику экономики опишем следующим дифференциальным уравнением:

где:

-- усилия людей по развитию экономики (чем больше Пассионарного напряжение , тем более действенны эти меры, причем на начальном этапе эти меры сказываются отрицательно, так как <0, а далее позитивно >0).

-- ограничения на экономику ("... Экономика стремится отделиться ... и от политической системы"[17, с.118]), накладываемые политикой (чем более развита политическая система, тем меньше ограничений, т.к. политическая система уже менее нуждается в экономической подпитке).

-- ограничения на экономику (при >) накладываемые традицией и нормативным порядком ("...Экономика стремится отделиться ... также от тех аспектов системы поддержания образца, которые связаны с родством"[17, с.118]), и некоторый толчок (поддержка) в начале развития (при <).

 Динамику соционического сообщества опишем следующим уравнением:

где:

 -- контроль за соблюдением нормативного порядка, борьба государства с преступлениями против порядка, реститутивные санкции [11], кооперативное право (чем сильнее государство и чем больше адаптация к окружающей среде (экономика), тем сильнее контроль(7)).

-- потери при действиях направленных на поддержку авторитета традиции, легитимации устанавливаемого нормативного порядка (при достаточно высоком уровне K затраты незначительны).

-- нормативный порядок требует соотнесенности с этническими образцами ("Поддержание нормативного порядка требует ... согласованности с поведенческими ожиданиями"[17, с.106]);  сопротивление традиции; фундаментализм.

Системы поддержания институциальных этнических образцов опишем уравнением:

где:

-- контроль за образцами  поведения (Политическая система решает задачи по "эффективному контролю за ... индивидуальной мотивацией членов общества"[20, с.30]),  борьба государства с уголовными преступлениями, репрессивные санкции, уголовное право.

-- затраты на поддержание авторитета традиции, легитимации устанавливаемого нравственного порядка (при достаточно высоком уровне D эти затраты минимальны).

 -- соотнесенность с нормативным порядком.

 Таким образом, мы получили систему уравнений:

Исследование системы. Проверка на наличие бифуркации

Для исследования полученной системы воспользуемся алгоритмом исследования дифференциальных уравнений на наличие бифуркаций и анализа устойчивости, приведенным в книге Б.Хэссарда [25, с.63-65].

   Исследуем систему (1) при помощи теоремы Андронова-Хопфа ([16, с.85], [25, с.19]) :

В качестве параметра  у нас выступает Пассионарное напряжение (). 

Пусть . 

Тогда в положении равновесия при =0  матрица Якоби имеет следущие собственные числа:

Проверим выполнение условий теоремы Андронова-Хопфа.

1) Собственные числа  комплексно сопряжены,   при . Выберем  так (предполагается, что  уже задана), чтобы бифуркация рождения цикла была при определенном уровне параметра   (обозначим его через ). Тогда . 

   

Значит все условия теоремы Андронова-Хопфа выполнены,  -- точка бифуркации рождения цикла. Другими словами, при > система теряет устойчивость прежнего стационарного равновесия, и появляется цикл в развитии общества. Закритичность бифуркации (т.е. появление цикла при >) следует из исследования устойчивости решения. Меняя коэффициенты, мы можем устанавливать определенную величину периода и наоборот.

Исследование устойчивости системы

Устойчивость периодического решения определяется следующими условиями:

  

Таким образом, мы получили условия ((3), (4) и (5)) на коэффициенты исследуемых уравнений при которых решение будет устойчиво. (Более подробно см. в работе"Математическая модель социальных процессов"//Математические структуры и моделирование, Вып 2. 1998г, ОмГУ, Омск.)

Компьютерное моделирование

При проведении численного исследования параметр   берем из модели этногенеза.

Рис.1 

 В качестве  берем такое значение Пассионарного напряжения этноса, которое со временем не становился меньше .  В результате мы получили следующий график развития системы

  Рис.2

Здесь 

 

Условия (3)-(5) выполнены. 

 

Анализ графика

Исходя из полученного графика, видно, что рост Пассионарного напряжения идет до момента возникновения элементов нового, соционического сообщества (горизонтальная координата = 300), после чего Пассионарное напряжение начинает спадать. Достигнув определенного уровня развития, соционическое сообщество вступает в противоречие с старой системой поддержания образцов, в результате чего, та начинает ослабевать (горизонтальная координата = 1200). Также можно предположить, что достигнув своего максимума, (горизонтальная координата = 1500) новая система соционического сообщества приобретает стабильность, и начинает выполнять функцию системы поддержания образцов, по отношению к новой, более высокой фазе развития социогенеза.

Устойчивость социальной системы

В социологии большое внимание уделяется вопросу о стабильности (устойчивости) общества. Парсонс пишет, что "термин <стабильность> эквивалентен более специфическому понятию стабильного равновесия, которое в другом отнесении может быть как статичным, так и подвижным. Система стабильна или находится в относительном равновесии, если отношение между ее структурой и процессами, протекающими внутри нее, и между ней и окружением таково, что свойства и отношения ... оказываются неизменными"[18, с.465]. Для проверки устойчивости изменим коэффициенты и начальные данные  и посмотрим как изменится вид графика решения. На Рис 3. изображено решение системы (1) в уменьшенном масштабе (относительно Рис.2).

Рис. 3

  

Измени начальные данные на небольшую величину (Рис.4) и с изменением коэффициентов (Рис 5). 

Рис. 4

Рис. 5

Видно, что общий вид решения практически не изменился . Следовательно можно сделать вывод, что мы можем менять начальные условия достаточно свободно. Это результат говорит, что решение устойчиво относительно возмущений правой части. Это дает возможность достаточно произвольно выбирать коэффициенты и получать разные модели соц. систем.

Заключение

Предсказание эволюции общества -- это предсказание  состояний, в которые может перейти общество. Исследуя данную модель, мы изолировались от внешних воздействий и фиксации начального состояния, действуя в модели динамического хаоса. Саму социальную систему можно рассматривать как диссипативную систему. Переход от одного социального  состояния в другой -- это смена аттракторов. Точка смены аттрактора -- это бифуркация. Ясно, что социальная система, подвергнувшись бифуркации, "побродив" исторически  короткий отрезок времени, рано или поздно окажется в зоне аттрактора. Как будет называться такой новый социальный аттрактор и какими свойствами он будет обладать: социализм, авторитаризм или меритократия - это определяется тремя параметрами:

• Уровень пассионарной напряженности
• Существующая система поддержания старых образцов - шаблонов
• Новая система создания новых образцов - шаблонов.     

Примечания: 

1. Толкотт Парсонс (1902-1979) -- американский социолог-теоретик, создатель теории действия и системно-функциональной школы в социологии.

2. Парсонс: Социальная система покоится на функциональной потребности к порядку [20, с.43].

3. Несомненно, биосфера (поведенческий организм) влияет на социальную систему, но в построенной модели мы пока не будем учитывать ее воздействие.

4. Интеграция -- процесс объединения, сцепления разнородных элементов в единое целое

5. В этих теоремах требуется непрерывность правых частей и это, в какой-то степени, предопределяет вид уравнений.

6. Пассионарность как энергия -- это избыток биохимической энергии людей, подавляющий в человеке инстинкт самосохранения и определяющий способность к целенаправленным сверхнапряжениям. Пассионарность как характеристика поведения -- эффект избытка биохимической энергии людей, порождающий способность к самопожертвованию ради (иногда) иллюзорной цели."[3, с.65]

7. "Государство гарантирует выполнение реститутивных санкций; экономика определяет жизненный уровень населения, что способствует нормальному отправлению государством своих репрессивных функций". [3, с.120]

8. 

Условия (3)-(5) выполнены.

Список литературы:

[1] Гумилев Л.Н. Этногенез и биосфера Земли. -- М.: "Мишель и К", 1993. 

[2] Гумилев Л.Н. География этноса в исторический период.// Звезда, 1990, N2. 

[3] Гуц А.К. Глобальная этносоциология: Учебное пособие. -- Омск, ОмГУ, 1997. 

[4] Гуц А.К. Математическая модель этногенеза // Ученый совет мат. фак. ОмГУ. - Деп.в ВИНИТИ 20.07.94, N 1885 -- B94. -- 18c. 

[5] Гуц А.К. Математическое моделирование этногенетических процессов // Ученый совет мат. фак. ОмГУ. - Деп.в ВИНИТИ 21.10.96, N 3100 -- B96. -- 15c. 

[6] Гуц А.К. Математическая модель социогенеза// Второй сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезизисы докладов. Секция практики математического моделирования. -- Новосибирск, Ин-т математики, 1996. С.7. 

[7] Гуц А.К. Математическая модель социогенеза // Ученый совет мат. фак. ОмГУ. - Деп.в ВИНИТИ 21.10.96, N 3101 -- B96. -- 12 c. 

[8] Гуц А.К., Лаптев А.А. Рождение циклов в развитии политической и экономической систем вследствие ослабления режимов власти. // Циклы природы и общества. -- Ставрополь, 1996. 

[9] Гуц А.К., Коробицын В.В. Компьютерное моделирование этногенетических процессов. // Ученый совет мат. фак. ОмГУ. - Деп. в ВИНИТИ 24.09.97, N2903 -- B97. -- 23 c. 

[10] Данилевский Н.Я. Россия и Запад. -- М.: Книга, 1991. 

[11] Дюркгейм Э. О разделении общественного труда. Метод социологии.-- М.:Наука, 1991. 

[12] Капитонов Э.А. Социология ХХ века. -- Ростов-на-Дону, 1996. 

[13] Кондратьев Н.Д. Избранные сочинения. -- М.: Экономика, 1993. 

[14] Крапивин В.Ф., Свирижев Ю.М., Тарко А.М. Математическое моделирование глобальных биосферных процессов. -- М.: Наука, 1982. 

[15] Лаптев А.А. Математическое моделирование этносоциальных процессов. // Ученый совет мат. фак. ОмГУ. - Деп. в ВИНИТИ 24.09.97, N2904 -- B97. -- 26 c. 

[16] Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. -- М.: Мир, 1983. 

[17] Парсонс Т. Понятие общества: компоненты и их взаимоотношения. // Тезис. -- Т.1, N.2. -- С.94--122. 

[18] Парсонс Т. Функциональная теория изменения // Американская социологическа мысль. -- М.: Изд-во МГУ, 1994, сс.464-480. 

[19] Парсонс Т. Система координат действия и общая теория систем действия: культура, личность и место социальных систем // Американская социологическа мысль. -- М.: Изд-во МГУ, 1994, сс.448-464. 

[20] Посконин В.В. Социально-политическая теория Т.Парсонса: методологический аспект. -- Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 1994. 

[21] Посконин В.В. Правопонимание Толкотта Парсонса. -- Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 1995. 

[22] Смелзер Н. Социология. -- М.:Феникс, 1994. 

[23] Тойнби А.Дж. Постижение истории. -- М.: Прогресс, 1991. 

[24] Терехин М.Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений: Учебное пособие к спецкурсу. -- М., 1989. 

[25] Хэссард Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. -- М.: Мир, 1985. 

[26] Шпенглер О. Закат Европы. -- М.: Мысль, 1991. 

[27] Яковец Ю.В. История цивилизаций. -- М.: ВлаДар, 1995.